了得網社會科學_全局敏感性分析

編輯推薦

《全局敏感性分析》提供了一個簡單易懂的手冊來實踐敏感性分析，闡明了敏感性分析如何有助於建立一個更具魯棒性、更簡潔的模型，以及怎樣讓模型更加經得起推敲。

內容簡介

本書給出關於該學科全面的方法介紹，讓讀者可以學習並實踐全局敏感性分析，而不需要再查閱其他書籍。首先，介紹了構建敏感性分析框架的方法，如何解釋結果，從而避免某些缺陷。其次，利用富有特色的大量習題和答案進一步闡明敏感性分析的應用。本書適合來自不同領域的研究生或者科研人員閱讀，例如統計學、數學、工程、物理、化學、環境科學、生物、毒物學、保險科學和計量經濟學等，也同樣對從事風險分析，定價和對衝金融分析的工程師們有重要的價值。

第1章敏感性分析導論
11模型與敏感性分析
111定義
112模型
113模型和不確定性
114如何建立不確定性和敏感性分析
115對模型質量的影響
12敏感性分析的方法和設置簡介
121局部與全局敏感性分析
122測試模型
123散點圖與導數
124標準差歸一化導數
125蒙特卡羅和線性回歸
126條件方差：種釋義

第1章敏感性分析導論

11模型與敏感性分析

111定義

112模型

113模型和不確定性

114如何建立不確定性和敏感性分析

115對模型質量的影響

12敏感性分析的方法和設置簡介

121局部與全局敏感性分析

122測試模型

123散點圖與導數

124標準差歸一化導數

125蒙特卡羅和線性回歸

126條件方差：種釋義

127條件方差：第二種釋義

128對於式（13）中模型的應用

129種設定：參數優先排序

1210非加性模型

1211高階敏感性繫數

1212總階效應

1213第二種設定：參數固定

1214敏感性分析基本原理

1215組參數的處理

1216其他方法

12效應分析

1218蒙特卡羅濾波

13非獨立輸入參數

14敏感性分析的可能缺陷

15結束語

16習題

17習題解答

18補充習題

19補充習題答案

第2章實驗設計

21導言

22對單個參數的依屬關繫

23對單個參數的敏感性分析

231隨機取值

232分層抽樣

233分層抽樣的均值與方差估計

24多參數敏感性分析

241線性模型

242單次逐個(OAT)取樣

243影響參數個數的限制

244部分析因抽樣

245拉丁超立方體抽樣（LHS）

246多變量分層抽樣

247弱差異序列的準隨機抽樣

25組抽樣

26習題

27習題解答

效應方法

31導言

效應方法

33抽樣策略與策略優化

34敏感性繫數的計算

35組參數的計算

效應（EE）方法步驟

37結論

38習題

39習題解答

第4章基於方差方法

41不同設定的不同測試實例

42為什麼選擇方差

43方差方法發展史

44相互作用效應

45總效應

46如何計算敏感性繫數

47FAST和隨機平衡設計

48方法應用實例：疾病傳染動態模型

49額外解釋

410習題與解答

第5章參數建模

51導言

52蒙特卡羅濾波（MCF）

521蒙特卡羅濾波方法植入

522優缺點分析

523習題

524習題解答

525例子

建模和高維度模型表述（HDMR）

531HDMR模型

532簡單例子1

533簡單例子2

534習題

535習題解答

54結論

第6章敏感性分析：從理論到實踐

61例子1：綜合指數

611問題陳述

612估量各國家環境可持續發展綜合指數

613選擇敏感性分析方法

614敏感性分析的過程及結果

615結論

62例子2: 跳躍在期權定價中的重要性

621問題提出

622帶跳躍的Heston隨機波動率模型

623選擇合適的敏感性分析方法

624敏感性分析的過程及結果

625結論

63例子3：化學反應

631問題提出

632間歇式反應器中的熱失控分析

633選擇合適的敏感性分析方法

634敏感性分析的過程及結果

635結論

64例子4：混合的不確定性—敏感性作圖

65什麼時候使用什麼方法

後記

譯後記

參考文獻

前言

在建模領域很容易找到海量的學術文章，以及針對一個特別領域的指導叢書，或者數字模擬的手冊，但是卻很難找到適合所有建模者的廣泛意義上的建模手冊。不同學科的建模學術圈對於建模理論的發展在很大程度上是相對獨立的。這是不是表明，正如認知論學家所說的那樣，建模不是一門科學，而是一種工具？換句話說，是不是因為幾乎不太可能定義一套標準去把自然或者人造繫統解碼成一套稱之為“模型”的數學規則？

如果建模工作真的具有這樣不可同化性而缺乏繫統性，也許對於模型的敏感性分析給出一套好的通用的實踐方法顯得有點太過野心勃勃。進一步講，如果翻翻現有的文獻，在很多場合，“敏感性”一詞隻被理解為一個特定的輸出變量對於一個特定的輸入變量的微商 (經濟學裡面所講的“彈性”) 。這一點也不奇怪，作為當代的科研工作者（如本書的作者），也許在微積分方面接受了相當的訓練，但是在用蒙特卡羅方法上面卻很欠缺，也許研究了很多雅可比矩陣、海森矩陣，卻沒有好好研究一下俄羅斯輪盤。少數敏感性分析的實踐者(大部分來自統計、風險分析、可信度分析) 都在積極地用本書所描述的“重要性測量”方法。這些方法都基於這樣一種原則：輸入因素對於輸出的影響是以參考整個輸入空間的變化為標準而不是輸入空間的某一點。這些方法也漸漸在很多領域的建模原則當中廣泛應用(例如，美國的環境保護組織EPA，2001)。本書的目的在於給學生提供一本簡單易懂的手冊來實踐敏感性分析，闡明敏感性分析如何有助於建立一個更具魯棒性、更簡潔的模型，以及怎樣讓模型在面對科學的或者技術的拷問時更加經得起推敲。

在線試讀

第1章敏感性分析導論
11模型與敏感性分析什麼是模型?敏感性分析考慮什麼樣的模型輸入?在建模過程中,不確定性分析和敏感性分析起到什麼作用?它們的作用在於,幫助我們了解不確定性在模型內部傳播的主要途徑,以及評估其對模型質量的影響。111定義敏感性分析可定義為研究模型輸出的不確定性(數值的或者其他類型的)，如何能夠追根溯源到模型輸入的不確定性（Saltelli et al,2004）。與敏感性分析相關的是“不確定性分析”，不確定性分析量化評估模型的輸出。理想情況下，不確定性分析和敏感性分析應該先後成對進行。
在這種定義下，首先要明確的概念是：什麼是“模型”，什麼是“輸入”，什麼是“輸出”。這些概念將貫穿本書的始終。112模型圖11所示的建模框圖能幫助我們了解敏感性分析在整個科學過程中的作用。該圖引用自生物學家Robert Rosen （1991）（也可見文獻Saltelli et al，2000，pp34）。在Rosen的框圖左邊，是整個“現實世界”，是研究的主體繫統。我們有理由相信，這個繫統不管是自然的還是人工的，或是被某種規則所驅使運轉的，而這種規則，我們可以揭示並為我們所用。因此，我們制定或者假想出模型的一套結

圖11Rosen模型（1991）構（圖中右邊所示）。例如，一種假設的世界上某一物種的生長機制可以在模型中翻譯為差分方程。當這一物種以其自己繫統規則（也是我們致力於弄明白的規則）持續生長，後安靜地在世界上消失，這一過程可以在差分方程裡面用數學算法來解得。Rosen的直覺假設是，當自然界的物種遵循某種“規則”時，差分方程也是有“規則”的，不管是形式上的，還是數學上的。沒有哪種“規則”可以決定自然界的這種假設的規則以什麼方式影射到模型中的這種“規則”。在Rosen的言論中，當現實世界和模型各自內部相關，模型對現實世界的描述作用是有限的。這種悖論形成的原因是：模型能捕捉到的現實世界是被主觀加工過的封閉的內部相互關聯的個體，而不是開放的當一個模型的作用在於學習一個繫統的不可觀測部分時，這種現像尤甚。。這也是當考察的現實世界是自然繫統的一部分時Rosen的觀點。然而，經驗告訴我們，即使現實世界是一個嚴格定義的封閉繫統，如人工繫統，一器件或者一個機械裝置，不同的建模者會有不同的繫統描述，這些模型的輸出會與相同的觀測結果相吻合，但是其結構卻不盡相同。
第1章敏感性分析導論
11模型與敏感性分析什麼是模型?敏感性分析考慮什麼樣的模型輸入?在建模過程中,不確定性分析和敏感性分析起到什麼作用?它們的作用在於,幫助我們了解不確定性在模型內部傳播的主要途徑,以及評估其對模型質量的影響。111定義敏感性分析可定義為研究模型輸出的不確定性(數值的或者其他類型的)，如何能夠追根溯源到模型輸入的不確定性（Saltelli et al,2004）。與敏感性分析相關的是“不確定性分析”，不確定性分析量化評估模型的輸出。理想情況下，不確定性分析和敏感性分析應該先後成對進行。
在這種定義下，首先要明確的概念是：什麼是“模型”，什麼是“輸入”，什麼是“輸出”。這些概念將貫穿本書的始終。112模型圖11所示的建模框圖能幫助我們了解敏感性分析在整個科學過程中的作用。該圖引用自生物學家Robert Rosen （1991）（也可見文獻Saltelli et al，2000，pp34）。在Rosen的框圖左邊，是整個“現實世界”，是研究的主體繫統。我們有理由相信，這個繫統不管是自然的還是人工的，或是被某種規則所驅使運轉的，而這種規則，我們可以揭示並為我們所用。因此，我們制定或者假想出模型的一套結

圖11Rosen模型（1991）構（圖中右邊所示）。例如，一種假設的世界上某一物種的生長機制可以在模型中翻譯為差分方程。當這一物種以其自己繫統規則（也是我們致力於弄明白的規則）持續生長，後安靜地在世界上消失，這一過程可以在差分方程裡面用數學算法來解得。Rosen的直覺假設是，當自然界的物種遵循某種“規則”時，差分方程也是有“規則”的，不管是形式上的，還是數學上的。沒有哪種“規則”可以決定自然界的這種假設的規則以什麼方式影射到模型中的這種“規則”。在Rosen的言論中，當現實世界和模型各自內部相關，模型對現實世界的描述作用是有限的。這種悖論形成的原因是：模型能捕捉到的現實世界是被主觀加工過的封閉的內部相互關聯的個體，而不是開放的當一個模型的作用在於學習一個繫統的不可觀測部分時，這種現像尤甚。。這也是當考察的現實世界是自然繫統的一部分時Rosen的觀點。然而，經驗告訴我們，即使現實世界是一個嚴格定義的封閉繫統，如人工繫統，一器件或者一個機械裝置，不同的建模者會有不同的繫統描述，這些模型的輸出會與相同的觀測結果相吻合，但是其結構卻不盡相同。

一個初步接觸建模的學生如果對那些顯而易見的自然規律的美習以為常，那麼他也不得不接受一個不太令人舒服的現實，那就是往往對於同一組數據或者證據有多個模型與之匹配。有學者為這種現像專門造了一個詞：equifinality（Beven，1993，2001，也見Saltelli et al 2004, pp173178），這個詞的意思是說不同的模型也會有相同的結果。也有另外的說法把這一現像叫作模型的不確定性。
從伽利略時代，科學家們就不得不面對人類大腦在創造從“現實世界”到“模型”的映射這一過程中的局限性。在這種背景下，“規則”這個詞可以理解為是一種艱難的簡化、分離和辨識的過程，這一過程導致了模型特有的簡單和美。113模型和不確定性使得建模和科學研究比較困難的一個原因就是不確定性。不確定性不是科學方法的偶然事件，而是其實質。“這是科學的含義。問題及其答案都在不確定性當中混在一起，這個事實也令人苦惱。但是沒有辦法，你沒法隱藏什麼，相反，所有的一切將在不確定性當中展開。”（Heg，1995）。
在模型的不確定性問題上，建模工作者和科學哲學家爭論由來已久（Oreskes et al，1994）。如今，大多數建模工作者會承認一個模型如果從“被證明是真實的”這個角度來講，是沒有辦法校驗的。更令人信服和正確的說法應該是，一個模型經過了各種擴展性的確證,即通過了各種測試：是否合乎規範，是否內部一致，或者模型在一定程度上具備解釋和預測真實世界的能力。
如果模型失效，繼而在不同科學團隊之間引發爭議，這種後果是嚴重的。建模信用危機，荷蘭RIVM實驗室（Van der Sluijs，2002），又見MacLane（1988）。因為模型的應用是廣泛的，而不確定性有可能被很功利性地加以利用。一位荷蘭環境科學家（Int Veld，2000）就這樣說過，“所有的團體以一種選擇性方式處理環境信息，或者進行巧妙的處理”。巧妙設計處理模型的不確定性在一些諸如健康、環境等重要問題上的爭議是比較普遍的。
總之，模型是科學方法的一部分，因此也成為認識論爭論的主題。後常規科學（PNS，見圖12；Funtowicz，Ravetz，1990，1993；Funtowicz等，1996）提出了一種構造當代科學辯論的方法。

圖12Funtowicz，Ravetz不確定性/風險圖（1990）
在後常規科學中，要區分三種科學生產模式，取決於繫統的不確定性，而且與風險也有關。
應用該理論到建模中的各種需求和實踐有如下幾個方面。
●應用科學：模型為一個封閉的專家團體創建並且僅僅為其所用。例如，這是用來解決一個局限的化學動力學問題的模型。●當模型作為“咨詢”用途時，更容易被審查。例如，為一個社區內新的道路或橋梁的建設所產生的影響做成本效益分析。●在全球變化背景下計算氣候敏感性。在這種情形下，屬於我們所講的後常規科學的範疇。科學及其模型為具有衝突的利害關繫和信念提供了證據。
像理論科學一樣，模型可以給出其譜繫以幫助我們判斷其品質。這種模型譜繫考慮了該模型過去的使用情況，其支持者的狀態，同行接受程度等（Van der Sluijs，2002；Craye等，2005）。在這個譜繫中，模型質量與“有目的性的擬合”更密切相關，也就是說，當模型建立時這個特定的目的比模型的內在構成更為重要。
科學與決策相關的產出模式，Funtowicz (2004)中給出了相應的後常規觀點。Ravetz (2006) 中對模型作為一種比喻做了討論。
114如何建立不確定性和敏感性分析如本章開頭所提到的，敏感性分析的定義涉及模型本身、模型的輸入和輸出。我們現在嘗試以模型本質和作用定義模型的輸入，以及設置不確定性和敏感性分析。模型可以有如下類型。
（1）診斷型或預測型的模型。換句話說，要區分這是一個用來理解特定規律的模型，還是一個用來預測在特定規律下的繫統行為的模型。模型可以從天馬行空的假設遊戲（例如，外星智慧是否存在的模型）到被認為是準確和可信的預測繫統模型（例如，一家化工廠控制繫統）。（2）法則驅動或者數據驅動的模型。法則驅動的模型是將對繫統有貢獻的規律法則綜合在一起，以預測其行為。例如，使用Darcy和Fick定律來理解一種溶質在流動的水中通過多孔介質的運動。數據驅動的模型是將溶質作為信號以獲得它的統計性能。像數據驅動模型的倡導者指出的那樣，這些模型可以以一種精簡的方式建立起來，即用小的可調參數描述現實（Young等，1996）。對比之下，法則驅動的模型，通常過參數化，因為它們可能包括更多的相關規律，而這些規律缺乏可用的數據量支持。出於同樣的原因，法則驅動的模型可能有更強的能力描述未觀察到的情況下的繫統，而數據驅動的模型僅限於支持在做估計時所使用的與數據相關聯的繫統行為。統計模型（如分層或多層模型）是數據驅動的模型另一個例子。
除此之外，也有其他類別的模型貝爾等，（1988）區分正式（公理），描述性與規範性模型（代理人應遵循有助於達到目標的規則），在本書中的例子都是描述性模型。。模型輸入的定義取決於作為研究對像的特定模型。為了做不確定性及敏感性分析，可以將輸入看作可以驅動模型輸出的所有變量。

考慮圖13所示的方案。這裡有觀測值（為簡單起見，假定無誤差）和一個模型，其參數從觀測數據估計。參數估計可以采取不同的方法，通常是通過小化度量所述模型預測和數據之間的距離，如小二乘法。在估計步驟結束時，“”的參數值以及它們的誤差是已知的。在這一點上，可以認為模型是“真實”的，而參數的不確定性經由模型傳播至模型的輸出端來做不確定性分析。在這種情況下，所估計的參數成為我們研究的因素。

圖13參數自助版本的不確定性和敏感性分析這種研究的一種方式是通過蒙特卡羅分析來實現的。在此我們考察輸入參數的分布函數，這些分布函數往往由估計來獲得。例如，可有以下方案。
●從參數α～N(α-,σα) 開始，經過參數估計之後,α 呈正態分布,均值為α-,標準差為σα。●同樣的分布也適用於參數β 和γ 。雖然邏輯上來講有點不現實，為了簡化考慮，假定參數是相互獨立的。這個問題在以後的章節會詳細討論。●對於每個參數，從其分布中取樣。例如，產生一簇向量(α(j),β(j),…) ，其中j=1,2,…,N ，而(α(1),α(2),…,α(N)) 是依分布α～N(α-,σα)的抽樣，同樣的抽樣也適用於其他參數。
α(1)β（1）γ（1）…
α(2)β（2）γ（2）…
…………
α(N-1)β（N-1）γ（N-1）…
α(N)β（N）γ（N）…（11）●對矢量α(j),β(j),…計算（習慣上也稱為“運行”）模型輸出，因此得到模型輸出Yj 的N個值。注意：此處的模型輸出Yj可能與參數估計時的模型輸出不一樣。y（1）y（2）…y（N-1）y（N）（12）
這些步驟構成了不確定性分析的過程。從這些步驟可以計算出模型的平均輸出，標準方差，其分布的分位數，置信區間，點描出其分布，等等。顯然，這種分析有時被稱為“參數自助” 自助是重復多次替換采樣的過程。例如，如果我們想估計三個Bingo遊戲片的和，可以通過從Bingo袋子中隨機抽取三個，計算它們的平均值，然後把遊戲片放回袋子再抽。當抽取次數足夠大時平均和可以計算出來，這種策略被稱為Bingo遊戲片自助法。，在這裡，模型輸入是模型的參數。這種不確定性分析之後再進行敏感性分析，以確定哪些輸入參數是更重要的，能更加影響模型輸出的不確定性。在這裡簡略這一步是為了繼續關於模型輸入的探討。
注意：為了剛剛講的不確定性分析，我們認為相關的輸入隻有估計的參數。其他的模型輸入信息均被忽略不計，例如，觀測數據，物理或數學常數，內部模型的變量（如網格點的數量，如果模型需要一個網格的話），也就是說，我們不考慮它們的變化對模型輸出造成的變化。
在圖14中，我們做了一個不一樣的不確定性分析，對觀測值采樣，而不是參數。此時隻有有限的觀測值，而我們都知道，觀測值不同的子集可能都會使我們嘗試一個不同的模型去擬合數據。為了對數據進行公平的處理，我們所能做的是選擇觀測值的一個子集，基於這些數據和預先建立的模型選擇準則選擇一個模型，使用相同的采樣數據估計相應的參數，運行模型來計算Yj。我們采取替換采樣，然後重復這個過程，識別潛在的不同的（或者是相同的）模型，參數估計（如果模型是不同的，參數個數與之前的可能有不同），如此反復總共N次，直到我們得到不確定性分析的采樣。這種方法可以被稱為“自助建模過程”（Chatfield，1993）。

圖14“自助建模過程”（Chatfield，1993）
這種不確定性分析的輸入已變成自助重復數據，因為我們假定所有其他步驟（從模型選擇到參數估計）是自動完成的，因此沒有增加模型輸出的變化。
圖15中比較了一套合理的模型與數據。利用貝葉斯分析，我們可以得到模型後驗概率以及相關參數的分布（Saltelli 等，2004）。一旦模型的更新和參數估計完成，就可以得到一個平均模型用於不確定性分析。

圖15貝葉斯模型平均這個過程是這樣實現的：先根據模型和參數的分布來抽樣，在繫統中傳播不確定性，從而產生一個模型輸出Yj。這個過程稱為貝葉斯模型平均這種方法詳見Kass， Raftery（1995），Hoeting等（1999）。相關敏感性問題見Saltelli等（2004，pp151192）。，在這種情況下，敏感性分析的輸入是模型和參數，更精確地講，是不同的模型表示和不同的參數概率分布。在Monte Carlo框架下，觸發變量將被采樣，以根據後驗概率選擇模型，同時參數也將被采樣，模型輸出也將被確定。敏感性分析可以在這一點上執行。然而一個可能的問題是：有多少的不確定性是由於模型的選擇造成的，有多少不確定性又是由參數估計造成的？
115對模型質量的影響以上不確定性和敏感性分析方法的插圖淺顯地說明了“什麼是敏感性分析的輸入”，這一問題的答案取決於分析是如何建立的。輸入是可以變化的，以研究其對輸出的影響。敏感性分析將反過來指導建模者弄清楚輸入對於輸出的相對重要性。一個明顯的結果是，建模者將忽略這些已經固定了值的變量。當然，這對建模者來說是一種危險的做法，作為一個被視為無影響的變量而固定其值會在稍後的階段影響分析結果。例如，建模者不幸後驗發現網格尺寸太大，網格點的數目對模型輸出有巨大的影響。
因此，應該在決定不確定性和敏感性分析的輸入時做盡可能認真和客觀的分析。顯然，如果在輸入端計入更多的變量，並允許其不同程度的變化，模型預測的方差也更大。這可能會導致一種情況，在這種情況下我們會發現，計入所有的不確定性後，模型預測變化如此之大，以致它沒有實際用途。計量經濟學家愛德華E Leamer（1990）已經精闢地概括了這種權衡：
“我提出了一種有條理的敏感性分析形式，我稱之為‘全局靈敏度分析’。在全局敏感性分析中，選擇替代的假設區間和確定相應的區間推理。結論認為隻有假設區間足夠寬而可信，推斷出的相應的區間足夠窄而有用。”
注意:他強調“在假設區間的可信度”的必須性。證明模型失效的簡單的方法是證明它脆弱就站不住腳的假設。然而，這種權衡可能不會如想像中那樣引人注目，而且增加輸入要素的數量並不必然導致模型輸出方差的增加。有實踐記錄稱，在大多數的不確定性分析和敏感性分析中，輸入因素的重要性僅僅簡單分布在類似於國家的財富這種因素上，僅僅幾個因素導致了幾乎所有的不確定性，大多數其他因素對於不確定性隻有微不足道的貢獻。因此，如果“關鍵”的因素是明智的選擇，在分析中進一步增加輸入變量可能會增加分析的完整性和說服力，反而沒有增加輸出方差。
如前所述，一個模型的品質在很大程度上取決於其有目的的擬合功能。如果建模作為一種工具，模型不能被證實（由於不確定性的普遍性質，以及分離觀測者的觀測值所反映的事實的困難） “價值”在這裡的意思是道德判斷。在很多情況下，事實和價值的分離很艱巨，如當模型試圖評估采用新技術的影響，相應的環境威脅，在經濟學裡的分配問題，等等。，建模者有道德義務（事實上它是建模者的實際利益）盡可能嚴格地評估模型魯棒性推理。這樣做會產生更好的和更簡潔的模型，並將在科學爭論和公共政策或辯論中加強分析的說服力。
12敏感性分析的方法和設置簡介本節將回答如下問題：可以用哪些方法?一個特定的方法如何用來解決一個特定的問題?我們如何清楚地定義一種因素的重要性以及提出一些實踐建議。
121局部與全局敏感性分析我們將在下面的章節中學習敏感性分析在經濟建模中的很多用途。它可以給分析者帶來驚喜的發現，如發現模型中的技術性錯誤，確定輸入域的關鍵區域，明確優先研究重點，簡化模型和證偽分析。在用於政策評估的模型中，敏感性分析可以驗證鋻於繫統中的不確定性而采取不同政策選擇之間的差別，等等。問題是，要選擇什麼方法進行上述的敏感性分析？

大部分文獻中的敏感性分析是基於導數的，這不是偶然的。事實上相對於輸出Yj與輸入Xi的導數dYj /dXj可以認為是一種Yj對於Xi敏感性的數學定義。
在導數的計算方面，有些復雜的物理、化學或遺傳模型的計算機程序，增加了特殊的程式以便高效計算繫統導數大型陣列。隨後這些導數被用於校準模型、模型降階或驗證以及模型反演（Rabitz，1989；Turanyi，1990； Varma等，1999；Cacuci，2003；Saltelli等，2000，pp 81101）。
基於導數的方法在節約計算時間上是非常有效的。它僅僅需要運行模型幾次即可算出導數陣列。然而，其在分析時間上卻是低效的。分析的人需要介入計算機程序，將Ad Hoc編碼嵌入，並有效地執行此操作。基於導數的方法的致命缺陷是模型輸入的不確定性和模型線性度的未知性。換句話說，結果僅僅在計算導數的這一點上有效，而且也不能遍歷其他的輸入空間。這個問題對於線性繫統比較少。在線性繫統中，一點上的偏離程度能夠用一階導數很快算出來。但是當繫統為非線性時，問題就比較多。本書的重點在於探討當繫統有不確定輸入存在時，定量分析繫統的不確定性及敏感性。我們利用探索整個輸入空間的方法，考察空間中大量的數據點。因而這種方法較之在空間一點上的導數更有信息量，魯棒性更強。本書中，當用導數增長率YjXi ΔXi－YjXi/ΔXi 時，通常我們在輸入空間的一簇點上計算Yj並取其平均，這樣得到當將因子Xi在空間不同點變化ΔXi時，如點X~i 如下所有的論述中，X~i表示除去參數Xi之外的所有參數。，Yj的相應變化。
為了引入敏感性分析，我們先從導數開始，舉一個簡單的例子。

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