第1章 概論

 1.1 有關模型不確定性的問題

 1.2 有關模型不確定性的十篇論文

第2章 線性指數二次高斯貼現控制

 2.1 成本公式

 2.2 成本遞歸函數和綜合函數

 2.3 無限期下的成本

 2.4 時不變的線性控制過程

 2.5 對於無限期貼現問題的求解

 2.6 結束語

第3章 穩健的持久收入和定價

 3.1 引言

 3.2 遞歸風險敏感性控制

 3.3 穩健持久收入理論

 3.4 估計

 3.5 資產定價

 3.6 從市場風險價格中量化穩健性

 3.7 跨期平均風險權衡

 3.8 結束語

 附錄

第4章 模型設定、穩健性、風險價格和模型檢測的四個半群

 4.1 導論

 4.2 概述

 4.3 數學預備知識

 4.4 對四個半群的研究

 4.5 模型誤設及穩健性控制

 4.6 投資組合分配

 4.7 風險要求權定價

 4.8 統計性判別

 4.9 熵與不確定性市場價格

 4.10 結束語

 附錄

第5章 穩健控制和模型不確定性

 5.1 引言

 5.2 基準資源分配問題

 5.3 模型誤設

 5.4 雙穩健控制問題

 5.5 乘積公式的遞歸性

 5.6 兩個偏好排序

 5.7 偏好次序的遞歸性

 5.8 結束語

第6章 穩健控制和模型誤設

 6.1 引言

 6.2 概述

 6.3 三個普通控制問題

 6.4 對於模型誤設的擔憂

 6.5 概率測度集合上的雙穩健控制問題

 6.6 固定概率空間上的博弈

 6.7 序貫時間規則下的懲罰性問題

 6.8 序貫時間規則下的約束設定

 6.9 先驗分布

 6.10 結束語

 附錄

第7章 置疑或波動性

 7.1 概述

 7.2 股票溢價和無風險利率之謎

 7.3 選擇設定

 7.4 類型1主體：Kreps
- Porteus - Epstein - Zin - Tallarini

 7.5 高風險厭惡的類型1主體經濟

 7.6 重新闡釋

 7.7 重新闡釋Tallarini

 7.8 消除不確定性的福利收益

 7.9 貝葉斯方法和學習

 7.10 結束語

 附錄

第8章 穩健性估計和無承諾控制

 8.1 概述

 8.2 無模型不確定性的控制問題

 8.3 使用鞅表示模型誤設

 8.4 兩類算子

 8.5 模型不確定性的控制問題

 8.6 茲1
= 茲2
的例子

 8.7 信號扭曲隱含的壞情形模型

 8.8 遞先驗概率模型

 8.9 風險敏感和復合型彩票

 8.10 其他的例子

 8.11 結束語

第9章 脆弱的信念和不確定性價格

 9.1 概述

 9.2 隨機貼現和風險

 9.3 三種信息結構

 9.4 風險價格

 9.5 完全信息下的學習

 9.6 穩健性擔憂的價格效應

 9.7 機制說明

 9.8 結束語

 附錄

第10章 信念、懷疑和學習：評估宏觀經濟風險

 10.1 概述

 10.2 理性預期和計量經濟學家

 10.3 統計精度

 10.4 風險價格和統計模糊

 10.5 統計挑戰

 10.6 學習

 10.7 信念與偏好

 10.8 學習和不確定性溢價

 10.9 擴展

 10.10 結束語

第11章 模糊的三種類型

 11.1 說明性模型

 11.2 無穩健性模型

 11.3 概率扭曲表示

 11.4 模糊的種類型

 11.5 無穩健性的異質性信念

 11.6 第二種模糊類型

 11.7 模糊的第三種類型

 11.8 比較

 11.9 數值例子

 11.10 結束語

 附錄

 參考文獻

序言

    作為宏觀經濟學家，我們已將職業生涯的大部分時間貢獻於理性預期宏觀經濟學和計量經濟學的完善和應用工作。與理性預期宏觀經濟學不同，本書體現了我們近年來對模型誤設概念的理解，並分析了其對於宏觀模型的意義。我們認為，模型誤設是理性預期經濟學所忽視的重要概念。

    理性預期是處理宏觀經濟數據的重要工具：它不僅通過消除自由參數從而限制了信念的內生性，同時還對模型中所有主體賦予了共同的信念,這裡的經濟主體不僅包括模型中的代表性經濟人，還包括外部的觀測者以及估計模型的計量經濟學家，甚至生成實際數據的“自然環境冶（我們可以將其視為“上帝”）。宏觀經濟學和計量經濟學家以極大似然估計和矩匹配等方法將這種共同的信念應用於理性預期均衡的計算以及構建性質良好的統計估計量等方面。

    然而，理性預期計量經濟學所流行的三十餘年也見證了對其的指責以及重構。其中，構成理性預期概念基石的交叉方程約束已經被證實其實證結果與公認的理論模型相悖。

    對於這一問題，我們的好友Robert Lucas回應道：“早在20世紀80年代，宏觀計量經濟學所使用的極大似然估計和矩匹配方法就與很多完美的模型不符。冶他認為，所有的模型都是對現實世界的近似，並且應將其與Kydland和Prescott所倡導的校準方法相比對。事實上，很多宏觀計量經濟學家也正是遵循了Lucas的教誨。

    不同於上述辯解，對於誤設定的研究摒棄了理性預期計量經濟學中共同信念的設定。近年來，有關誤設定文獻研究了多種理性預期均衡，其中每一個都存在自身的共同信念，該共同信念消除了模型中的經濟主體關於誤設的疑慮。但其中理性預期假定不能適用於對模型本身誤設的分析。

    作為宏觀計量經濟學家和時間序列計量經濟學家，我們不得不一再面對理性預期模型失誤的現實。但作為本書的兩位作者，我們都很幸運地曾經在20世紀70年代的明尼蘇達大學工作和學習，當時，明尼蘇達大學的Christopher A. Sims教授已經開始了對模型誤設的研究。在一繫列有關非理性預期的文獻中，Sims教授描述了不同類型模型誤設的後果，並對如何進行數據濾波和重新設計近似模型以消除模型誤設的干擾提出了建議。同時，Sims的論文還創造性地引入了相對熵這一概念，即誤設聯合分布相對於實際聯合分布的對數似然比的期望。通過引入這一概念，Sims教授描述了在大樣本情況下一族性質良好的統計估計量如何實現小化相對熵，在頻域分析中也有相應的結論成立。Sims教授使用該近似準則來調整近似模型的設定並進行數據濾波，以改進模型的估計特征。在本書中，我們以穩健性分析改進了Sims的研究，後者的研究提供了較好的方案，但其中經濟主體的模型僅僅是一個近似模型。

    直到20世紀90年代早期，我們仍致力於將數學工具應用在動態優化和預測當中，而這些領域早在20世紀五六十年代就被數學家所完善。這些數學工具假定決策者完全信任模型的隨機設定，這使得模型更適於理性預期範式的分析。與此同時，我們對於是否應在模型中引入誤設定猶豫不決，因此，我們仍維持了模型中的理性預期設定。使用數學上更為成熟的工具，其代價就是犧牲了模型誤設。

    大約在1992年，通過閱讀Jacobson(1973)和Whittle(1990)的兩篇文獻，我們意識到當宏觀經濟學家至今仍致力於應用20 世紀五六十年代的控制和預測理論工具來分析完全可信的理性預期模型時，數學家和工程師於七八十年代就使用了“後現代冶的控制和預測理論來分析決策者對模型存在質疑的情形。這種分析工具有一繫列不同的名稱，如穩健性控制、H無限控制或小熵控制。由於之前對模型誤設性的一再質疑，我們立即意識到穩健性控制和預測工具將有助於宏觀經濟學的重構，從而可以將現有理論擴展至模型誤設定情形。這就是我們寫作本書的動機所在。

有關模型不確定性的問題

以下問題促使我們寫作此書。

什麼是模型的不確定性？

對於我們來說，模型是一個隨機過程，也就是說，模型是通過參數向量索引的一個隨機變量序列的概率分布。對於我們來說，模型的不確定性暗含著一個模型是否正確的疑慮。

為什麼要在意模型的不確定性呢？

這是因為

•在統計意義上，在不同大小的典型宏觀數據集樣本中區分不同的模型是很困難的。

•Ellsberg（1961）的實驗結果動搖了Savage（1954）的“無模型可疑”這一公理的可信性。

作為宏觀經濟學家，我們將強調個原因。應用計量經濟學家經常在進行模型擬合的過程中會對自己模型的有效性與良好擬合模型的有效性出現幾乎同等程度的質疑。第二個原因啟發了決策理論，該理論為本書應用的模型提供了公理化基礎。

如何解釋模型的不確定性呢？

作為一組模型的決策者，不能也不願意通過創建一個復合彩票的方式使用貝葉斯先驗概率分布將眾多模型減少到一個模型。

該如何控制模型的不確定性呢？

我們對所有決策者的值函數進行了限制。小、期望效用是我們對值函數進行限制的主要工具。我們制訂了雙人零和博弈，在這一博弈中，一個小化個體從一組模型中選擇一個概率分布，從而幫助一個化個體來計算值函數的界限。此過程充分顯示了基準概率模型擾動下策略函數的脆弱性。

誰面臨著模型的不確定性？

作為建模者的我們面臨這一問題。我們模型所包含的代表性經濟人和政府決策者同樣面臨這一問題。

我們如何建立一組模型？

在我們簡單的設定中，我們假設決策者具有一個明確設定的統計模型，即我們常說的“近似模式”或“基準模型”。我們將其稱為一個近似的模型，原因為雖然它是決策者所擁有的設定明確的模型，但決策者並不認為這個模型為真。為了展現決策者對其近似模型的疑慮，我們用大小為η熵球中所有的模型來檢測該近似模型。決策者所關注的是，這組模型中的某個可能會影響實際數據集。

我們沒有用任何詳細的函數形式來指定具體的替代模型。我們隻是用相對熵小於η的似然比來模糊地描繪它們。在本書裡所描述的動態模型的應用中，這種模糊性所帶來的復雜的非線性和歷史的依賴性問題，通常排除在決策者的近似模型之外。非線性、歷史相關性，以及在參數空間的錯誤維度削減是決策者所關心的問題。

縱觀我們的許多分析，我們使用懲罰參數來描述相對熵，以計算使用更大模型集來提高評估效果時所帶來的成本。拉格朗日乘數定理的原理表明，基於懲罰的“乘子”和有相關約束條件的公式之間有非常緊密的聯繫。該懲罰公式無論在定性和定量的角度來看具有一定的優勢，但我們往往使用相關的約束條件公式以定量評估什麼程度的懲罰是可行的。當我們在第8，9，10章建立修正模型時，我們將明確使用多個基準模型。這便於決策者管理模型。當在多個模型中形成一個加權平均時，關於模型穩健性的問題就出現了，即如何在設定錯誤模型中評估可替代模型的優劣。

為什麼不用你自己的方式來學習模型的不確定性？

這個問題取決於模型在決策者可以控制數據這一問題的認知上，這本書的所有章節都以某種特殊方式生成這一模型集。首先，我們歸咎決策者，因為無論是其近似模型還是基準模型，在不同的時期都隻是一個單一的模型。為了驗證決策者對這一模型的懷疑程度，我們用一連續的概率模型來衡量，這個概率模型由與近似模型有關的熵球決定。該過程給決策者提供了一個龐大的模型集，該模型集與近似模型的近似性是由它們的相對熵來判斷的。

我們之所以如此設定決策者的模型集，是因為我們想表達如下觀點，即決策者擔心這兩種模型都是模糊地難以識別，甚至很難使用統計學的方法加以區分。這些模型的模糊設定，究其原因就在於它們僅被描述為由一個近似模型概率密度乘以相對熵足夠小的近似比率的結果。由此得出的結論將是一個具有非常高維參數空間的大量模型。這些模型包含隨著時間而波動的函數，這意味著相對於基準模型來說，後者的錯誤假設與前者不同。在不附加更多的條件下，得到實際控制數據生成的模型是不可能的。

正如我們將在以下幾個章節的應用中所看到的，低頻屬性的函數在統計學上是很難區分的（為了了解其特征，大數定律和中心極限定理要求我們極具耐心）。

更具一般意義地講，決策者使用多個可能不正確的基準模型的這一事實將我們置身於統計學習理論的陌生環境之中。貝葉斯理論假設決策者專注於一組模型中，在這組模型中有一個模型是正確的。貝葉斯定理描述了如何通過模型來更新概率，通過結合先驗信息和數據作為相對似然度的中介。而所有候選基準模型都是錯誤的觀點將導致我們不能應用貝葉斯範式。

學習這本書中要有兩個注意點。第2章至第7章通過假定認知困難的方法排除了學習理論。第8章和第9章介紹並應用了學習理論，該方法在模型的不確定性上有更多約束條件。

模型不確定性是如何影響均衡理念的？

為了理解模型的不確定性是如何影響標準均衡理念的，首先考慮現在占主導地位的理性預期均衡這一概念。論其本質，一個理性預期模型與在模型內的經濟人和計量經濟學家高度一致（請記住在描述一個模型時，我們指的是一個序列的概率分布）。在理性預期模型中，其所應用的計量經濟學大多利用這一“模型範式”，其中“與自然共享”的部分排除了模型假設錯誤的擔憂。

就個人研究經歷來看，理性預期計量經濟學家的偏好讓我們希望有一個盡可能接近理性預期的均衡理念。在我們的實際應用中，我們通過把一個共同的近似模型應用到一個模型中的所有經濟人來實現這一目標。盡管所這一近似模型已接近共識，但仍有人擔心模型的設定錯誤，這促使其使用小 - 預期效用理論。當模型中經濟人的興趣不同時，即使經濟人都遵從共同的近似模型來行為，但仍會產生信念的差異性。這種做法產生了一個新的均衡概念，這一概念是遞歸競爭均衡或子博弈完美均衡的延伸。

模型不確定性對均衡量有什麼影響？

第3章在一個代表性消費者模型中分析了不確定性擴大的影響。該影響與對貼現因子增長的影響相似，其特點都表現在觀察的等價效應，該效應以折現因子在似然函數平面的脊狀形式呈現。究其原因，出於對影響其非金融收入的隨機過程的錯誤設定的擔心，從而引發了消費者的預防性儲蓄行為。盡管第3章的觀察等價效應較為獨特，並且不會明顯優於具有其他偏好和技術規範的模型，由預防性動機引發的類似效果確實發生了作用。

這對均衡價格產生了什麼影響？

除了觀察等價效應，對模型不確定性的擔憂通過對近似模型中“偏好衝擊”的潛在波動，倍增了其對普通隨機貼現因子的影響。出現這種狀況的原因是小-預期效用的投資組合持有者在壞情況下的信念影響了不斷變化的價格。這產生了“模型不確定性下的市場價格。”這本書的幾個章節展示了模型不確定性下的市場價格是如何有助於模型達到Hasen和Jagannathan（1991）中的資產定價特征：市場價格通過增加近似模型的隨機貼現因子的波動性來達到這一目標。

對模型不確定性的厭惡類似於對風險的厭惡嗎？

在某些方面的確如此，但對模型不確定性的厭惡會改變不確定性的跨期分布，這與對風險的厭惡有很大的區別。如在第4章和第7章強調的那樣，應該使用非常不同的思維來校準風險厭惡和模型不確定性厭惡。

少量的不確定性厭惡可以取代大量的風險厭惡嗎？

這個問題的答案對Hansen，Singleton（1983），Mehra和Prescott（1985）的股權溢價之謎的替代解釋起了很大的作用。“少量”和“大量”的具體意思依賴於校正策略。宏觀金融經濟學家通常使用由Pratt（1964）提出的一種心理實驗來校正風險厭惡。第4章和第7章使用了一種非常不同的心理實驗來校準合理數量的模型不確定性的厭惡，即一種基於替代統計模型之間衡量統計差異的實驗。

模型的不確定性是如何影響政府政策的？

小-投資組合持有者壞情況下的信念影響著隨狀態變化的價格。這可以使拉姆齊計劃者采取更具紀律性和目的性的行為方式。第11章探討了其他描述模型不確定性的方式，模型中拉姆齊規劃者面臨一個競爭性的代表性經濟人。