推薦序激發你頭腦中的數感

序言閉上眼睛，開始想像 -001

01 集合的藝術 -005

02 無窮的分數 -013

03 用冰島話從1 數到4 -023

04 諺語和乘法表 -033

05 用直覺解決問題 -043

06 莎士比亞的零 -053

07 言論之形 -061

08 巨大的數 -069

09 獨一無二的雪花 -079

10 看不見的城市 -087

11 人類是孤獨的嗎 -097

12 使用十一進制的人 -107

13 了不起的圓周率 -113

14 愛因斯坦方程式 -125

15 小說家的微積分 -135

16 書中之書 -145

17 質數之詩 -153

18 財富的分布 -167

19 母親的模型 -175

20 一局棋的可能 -187

21 統計學的圈套 -197

22 時間的洪流 -209

23 當世界沒有窮盡 -217

24 數學的藝術 -223

激發你頭腦中的數感

孫路弘腦力工程師

人與人的表現是不同的，行為，舉止，言談，對同樣事情的表現都是不同的。這種差異源於我們的大腦。面對數學，有的人喜歡，有的人熱愛，有的人討厭，有的人恐懼。總是踫到有人說自己不擅長數學，卻很少聽到有人說自己不擅長語文的。

數學的核心是數感，數感是大腦中的一種感覺，它遍布在大腦的多個部位，在一個人成長的過程中，隨著大腦的發育逐漸形成。很多小孩不依靠邏輯，光憑感覺，聽聲音，看樣子，聞氣味，就能夠從很多人中一眼認出自己的媽媽。如果這種能力表現在數學上，就是能夠把所有事情都與數學聯繫起來，這就是數感。

丹尼爾·塔米特就是這樣的人，他腦海中遍布了數感，從這本書的24 篇文章中，你可以感受到他大腦中那些數學感覺的“電流”通過的痕跡。這些痕跡不是無中生有的，它們都源自生活給我們提供的線索，是生活中的多樣經歷讓丹尼爾與眾不同，是經歷形成了異常的大腦表現出的傑出纔能。我們能夠得到的啟發就是，在兒童成長的過程中，我們可以幫助他們在生活中培養數感，讓他們的頭腦裡自發冒出數學的那些圖像，那些故事，那些聲音，那些遊戲，那些思維活動……

大多數人居住的地方都有門牌號碼，這些號碼都是由數字組成的。你或你的孩子有思考過以下這些問題嗎：你們家隔壁鄰居的號碼是多少？樓下一家的門牌號碼是多少，樓上的又是多少？整棟樓有多少戶人家，有多少層，每層有幾戶？如果走樓梯下樓，要走過多少級臺階呢？

很多孩子從來沒有想過這些問題，這不是他們的錯，因為他們從小就沒有看到過別人這樣做過。如果孩子沒有在大腦發育的階段獲得過種種被數學感染的機會，等到了學校再學習，隻能獲得數學的表層知識。

生活纔是數學的課堂，纔是學習的場所，是隨時可以主動並自發學習的源泉。從家裡兄弟姐妹的人數，到豌豆公主無窮的被子，塔米特把他和數學的故事娓娓道來，通過這些線索，帶我們一同感受腦海中不知不覺地被塗上一層數感的過程。你可以從這本書中了解到更多細節，從而可以從自己的生活中開始這個過程。

每個人都可以輕松形成數感。書中的點點滴滴，喚醒了許多我兒時與數學結緣的場景，我把它們都寫到了《媽媽教的數學》這本書裡。當我閱讀這本《莎士比亞的零》時，我意識到兩者的一個共同核心本質，那就是數學源自生活，數學能力來自大腦中的數感園地。

數感不是神秘的。和塔米特一樣，我也曾經痴迷於圓周率的位數，不厭其煩地折騰著數字之間的乘法口訣，費心去猜測家裡的米粒到底有多少，完全不顧手冷抓起一把雪盯著看，仿佛要看穿雪花透露出來的秘密。這都是數學的秘密，是數感的源泉。這本書帶給我的共鳴是，數感在大腦中的形成是有規律的。能夠尊重規律，孩子從小面對數學就會不費勁、不痛恨、不懼怕，而是開心、高興、快樂地沉浸其中，終大腦中便會形成一塊充滿數量和數字的數感園地！

如果你也認同數學源自生活，數感源自日常的經歷，那麼，你可以從這本書開始，按照書中的線索來安排你的生活，讓自己的生活中顯露出有趣的數字和數量。你會發現，不管是在家中還是戶外，都充斥著我們生活缺不了素：每天的溫度和風力；冰箱的溫度和濕度；每個月的用水量、電費和燃氣費；背包的重量；上班路上的地鐵線路和換乘次數；自己的手機號碼；電腦的存儲量；名字的筆畫數；名字字母的排位……一旦你的數感被激發，你還會對這些視而不見嗎？

隨手帶上這本書，感染上一點數感！讓自己，讓自己的家人，讓自己的孩子，一起從生活中品味到數學的美味，讓頭腦中數感園地充滿芬芳！

從家裡兄弟姐妹的人數，到豌豆公主無窮的被子，通過這些線索，塔米特把他和數學的故事娓娓道來，帶我們一同感受腦海中不知不覺地被塗上一層數感的過程。

——孫路弘腦力工程師

有多少數學家能同時成為“異想天開”的故事講述者？事實證明，在寫作領域，沒有哪個探險家比丹尼爾·塔米特更具創新性。讀到這樣一位既能熟練運用數字，又能機智運用文字的作家的書，真是一件樂事!

——大衛·伊格曼知名腦科學家，《飛奔的物種》作者

一部令人愉快、內容豐富的作品。對任何有數學恐懼癥的人來說，無論他們的年齡是多大，這都是一份非常理想又有趣的禮物。

——《科克斯書評》

塔米特是一位擅於從看似平凡的瑣事中洞悉深刻見解的大師。

——《出版人周刊》

了不起的圓周率

記得我在十幾歲的時候，曾向一名女生表達過我對圓周率的崇敬。那名女生叫魯克桑德拉，她喜歡我，覺得我和其他男生很不一樣。我們課間喜歡泡在學校圖書館裡，一起暢想未來，或是一起討論作業。讓我感到開心的是，魯克桑德拉擅長的學科是數學。

有一次，出於好奇，我問她喜歡的數字是幾？她想了很久，似乎不太明白我的問題。後她說：“數字就是數字而已。”難道對魯克桑德拉來說，333 和14這兩個數字完全沒區別嗎？恐怕是沒什麼區別。

那麼圓周率π呢？我追問道。這可是我們在課堂上學過的有魔力的數字，難道魯克桑德拉不覺得這個數字很有美感嗎？

美感？她的臉上露出費解的神色。

畢竟魯桑德拉是工程師的女兒。工程師和數學家對圓周率有著截然不同的理解。在工程師眼中，盡管圓周率要比其他整數更精密，但也隻是3 和4 之間的一個測量值而已。在計算時，工程師會盡力避免使用小數點，轉而選用一個更方便的表示方式，比如22/7 或是335/113。對於圓周率，工程師多隻需要四舍五入後的3.141 或3.1416，從小數點往後4 位之後的數字對工程師來說沒什麼意思，甚至可以選擇視而不見。

但在數學家眼中，圓周率就大不相同了，而他們也比工程師更熟悉圓周率。對數學家來說，圓周率是什麼呢？圓周率是一個圓的周長除以直徑所得到的數值。它回答了一個基本的問題：“什麼是圓？”這個答案如果用數字來表示將是無限的：這個數字沒有末位，所以也不存在倒數第二位，更不存在倒數第三位或是倒數第四位……沒有人能將圓周率中的所有數字寫完，即使是一張和銀河繫一樣廣袤無垠的紙，也遠遠不夠。任何一個分數都不能和圓周率準確對應，無論世上哪一個計算器，都隻能描繪出一個有缺陷的圓、一個可憐的橢圓或一個有著完美圓形的粗劣仿制品。與圓周率完美契合的圓隻存在於理想國之中。

此外，數學家告訴我們，圓周率中的數字是沒有規律可循的。比如，我們以為下一個數字是6，實際上卻是一個突然冒出的2、0 或7；在一連串的9 之後，接下來出現的有可能還是9，甚至不隻是一個，而是兩三個9，但也有可能出現別的數字。總之，圓周率已遠超出我們的理解範圍。

所以說圓形，一個完美的圓形，根據我們的標準，應該包含一切可能的數字列。也許在圓周率的某一處，或許遠至小數點後數萬億位，100 個連續的5 正摩肩接踵地排在一起，而其他某一處，可能正有1000 個輪番交替的0 和1。更不可思議的是，在這雜亂無序的數字串中，如果一直不停地往後計算下去，在混亂後你又能看到整齊的數字序列123456789 在不斷重復出現，甚至是整整連續重復出現了123456789 次。如果我們還能繼續探尋下去，那麼就會看到圓周率小數點後一百位、一千位、百萬位、億萬位又整齊地重復出現了，就好像任何時刻整個圓周率都可以從頭開始再循環一遍一樣，但事實上，它卻是永不能重復的。圓周率隻有一個，永遠無可替代，也永遠無法被除盡。

我畢業之後的很多年裡，都仍然無法忘記圓周率的美感。那些數字在我腦中徘徊不去，訴說著無盡的可能，似乎也隱藏著無限的冒險。有時我會不自覺地念叨它們，就好像有什麼在提醒我不要忘記。盡管如此，我顯然無法占有圓周率，無論是數字本身，還是它的美感，抑或是它的巨大。也許事實上，是圓周率占有了我。有一天，我開始思考我和圓周率是如何改變彼此的，於是，我決定努力記下它小數點後的一大串數字。

實際上這比聽上去要容易，因為大的事情通常更特別、更刺激，因此比起小事，大事更容易被記住。比如說，像pen（筆）或者song（歌）這樣簡單易讀的詞，與hippopotamus（河馬）這樣讀起來慢、說出來也花時間的詞比起來更容易被忘記，後者反而會給人留下深刻印像。在我看來，長篇小說中的人物形像與短篇小說裡的相比更真實可信。數字也是一樣。比如說極為普通的31，就很容易讓人把它和與它相鄰的兩個數字30 及32 混淆。但31415 這樣的數字就不同，它的廣度讓人好奇，也讓人在處理時更加小心審慎。既長又復雜的數字列能夠誕生花樣和韻律。31 不行，314 也不行，3141 恐怕也不行，但31415 就可以。

不得不說，我就是別人口中“記性好”的那種人。人們覺得我在記電話號碼、生日和紀念日方面可靠，對於書中或是電視節目上提到的數據和事件我也能過目不忘。我知道有這樣好的記憶力是因為老天爺眷顧，而且這個本事也常常給我帶來好處。在學校時，我從不為考試擔心，對我來說，回憶老師講過什麼知識簡直易如反掌。比如說，如果有人問我法語單詞tre的第三人稱虛擬語氣是什麼，或者瑪麗·安托瓦內特王後是因為什麼被處死的，我都能不費吹灰之力講得清清楚楚。

因此，我開始著手背誦圓周率。我把圓周率打印在信紙大小的紙上，每頁1000 個數字，我像畫家凝視他愛的美景那樣凝視著這些數字。畫家的雙眼凝視著由近乎無限的光粒子所構成的畫面，並用自己的品位去詮釋，為景像賦予特殊意義。他的畫筆從畫板的一端開始，匆匆塗上幾筆。輪廓隨著畫家持續的耐心勾勒逐漸顯現。我等待著每一個數字列用它們吸引人的特質為我帶來驚喜，比如一些有趣的排列，或是有如畫作明暗一般的驚人巧合。有時這種驚喜來得很快，但有時卻需要我先耐心“耕耘”30 ～ 40 個數字。成百上千個數字逐漸累積起來，經過巧妙的融合渲染、加重淡出，一幅由數字構成的美景逐步形成。

畫家會展出他的畫作，而我要做什麼呢？在準備了3 個月之後，我將我的圓周率帶到了博物館。這些蔓生的數字盤踞在我的腦海中，我的目標是：打破背誦圓周率的歐洲紀錄。